Frage die sich meist stellt:

• Weichen die beobachten Werte von den zu erwartenden Werten ab?
• Sind zwei oder mehr Merkmale voneinander unabhängig oder weisen die beobachten Werte auf eine systematische Abhängigkeit hin?

• bezeichnet eine Gruppe von Hypothesentests mit Chi-Quadrat-verteilter Testprüfgröße.
• wird in folgende Typen unterteilt:

Es gibt drei Varianten die Signifikanz der Unterschiede zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten zu beurteilen:

Vorgehensweise

1. Erwartete Häufigkeit muss anhand von Wahrscheinlichkeiten berechnet werden.
2. Vergleich mit beobachteter Häufigkeit
3. Berechnung des \(\chi ^2\) – bzw. G-Wertes: \[\chi^2=\sum\frac{(Beobachtungswert_i - Erwartungswert_i)^2}{Erwartungswert_i}\] \[G = 2\sum_{i=1}^{n}B_i\cdot ln\frac{B_i}{E_i}\]
4. Vergleich des \(\chi ^2\)- bzw. G-Wertes mit dem kritischen \(\chi ^2\)-Wert bei (n-1) Freiheitsgraden und einer Signifikanzschwelle von \(\alpha = 0.05\). Es wird immer 1-seitig getestet!

Kreuzungsexperiment von Mendel

Bei einem Kreuzungsexperiment an Erbsen beobachtete Gregor Mendel folgende Phänotypen:

Kreuzungsexperiment von Mendel

Aufgrund seines genetischen Modells erwartete er eine Verteilung der Nachkommen im Verhältnis 9:3:3:1:

mendel <- chisq.test(x = obs, p = c(9/16, 3/16, 3/16, 1/16), correct = FALSE)
mendel

    Chi-squared test for given probabilities

data:  obs
X-squared = 0.25443, df = 3, p-value = 0.9684

mendel$expected

[1] 77.625 25.875 25.875  8.625

• Unser \(\chi^2\) ist kleiner als der obere kritische \(\chi^2\)-Wert → wir können unsere H0 nicht ablehnen.
• Es gibt keinen Unterschied zwischen den beobachteten und erwarteten Werten (\(\chi^2 = 0.254\), df = 3, p = 0.97).

• Es können nur Häufigkeitsverteilungen getestet werden, keine Proportionen oder Prozentsätze.
• Alle Erwartungswerte sollten mind. ≥ 2 sein, mindestens 80% sollten ≥ 5 sein.
  • \(\chi^2\) reagiert bei kleinen Erwartungswerten sehr empfindlich auf kleine Abweichungen.
  • Dadurch zunehmende Gefahr eines statistischen Fehler 2. Art.
• Errechneter \(\chi^2\)-Wert basiert auf beschränkten Datenmenge, wird aber zur Signifikanz mit kontinuierlichen Verteilung verglichen
  • Bei kleinen Stichproben (N<20) empfielt sich Stetigkeitskorrektur nach Yates (Standardeinstellung in R mit correct = TRUE)

\[\chi^2_{korrigiert} = \sum\frac{(|B_i-E_i|-0.5)^2}{E_i}\]

chisq.test(obs, correct = FALSE)

    Pearson's Chi-squared test

data:  obs
X-squared = 206.55, df = 1, p-value < 2.2e-16

chisq.test(obs) # correct = TRUE

    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  obs
X-squared = 205.93, df = 1, p-value < 2.2e-16

• Nachteil der Korrektur soll allerdings sein, dass Werte konservativ sind (p-Werte sind tendenziell höher) → einige empfehlen daher nur bei df = 1 die Korrektur.

Was tun, wenn beim Pearson’s \(\chi^2\)-Test oder beim G-Test zu viele der erwarteten Häufigkeiten <5 sind?

1. Klassen zusammenfassen
2. Exakter Test nach Fisher (Fisher’s Exact Test)

• Von Ronal A. Fisher 1934 der Royal Statistical Society vorgestellt → kam allerdings zu der Zeit nicht an.
• Heute allgemeingültiger Ansatz der gerade bei kleinen bis mittelgroßen Stichproben genutzt wird.
• Bei großen Stichproben (> 500) soll sich das Verfahren asymptotisch einem \(\chi^2\)-Test mit einem FG annähern.
• Mit diesem Permutationstest können exakte p-Werte berechnet werden (der Pearson’s \(\chi^2\)- sowie G-Test sind nur Annäherungen).

Unterscheiden sich zwei Tannenhäher und Eichelhäher im Vorkommen in verschiedenen Waldtypen?

factorial(8)*factorial(12)*factorial(10)*factorial(10)/
      (factorial(6)*factorial(2)*factorial(4)*factorial(8)*factorial(20))

[1] 0.07501786